Le trisablier, l’énigme maths du « Monde » n° 27

Un trisablier fonctionne comme un sablier, à ceci près qu’il est composé de trois compartiments. Il peut alors être posé dans deux positions : soit avec un seul compartiment vers le haut et deux en bas (comme dans la figure A), soit avec deux compartiments en haut et un en bas (comme sur la figure B). Dans le premier cas, le sable qui coule se répartit équitablement entre les deux compartiments du bas. Dans la seconde position, les deux compartiments du haut coulent en même temps dans celui du bas.
Le trisablier illustré par les figures contient exactement huit minutes de sable.
Ainsi, dans la position A, le sable coulera pendant huit minutes et chaque compartiment bas contiendra alors quatre minutes de sable. Dans la position B, le compartiment de gauche se videra en six minutes et celui de droite en deux minutes. Au bout de six minutes, tout le sable sera en bas.
Au départ, tout le sable se trouve dans le même compartiment, pouvez-vous mesurer un temps de cinq minutes avec ce sablier ?
Pouvez-vous imaginer une méthode permettant de mesurer n’importe quel nombre entier de minutes ?
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Indice
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Solution
La figure ci-dessous montre comment, à partir de la position initiale, il est possible d’isoler n’importe quel nombre entier de minutes entre 1 et 7. Chaque position s’obtient à partir de la précédente en tournant le sablier d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre. Pour mesurer 5 minutes, il suffit de réaliser la position en bas à gauche, puis de placer le compartiment contenant 5 minutes en haut. Avec toutes ces positions, il est possible de mesurer n’importe quel nombre entier de minutes.Pour cela, commencez par mesurer le reste de ce nombre dans la division par 8 avec l’une des positions de la figure, puis répétez les 8 minutes complètes autant de fois que nécessaire. Par exemple, pour mesurer 18 minutes. Commencez par mesurer 2 minutes à partir de la position du milieu, puis enchaînez avec deux périodes complètes de 8 minutes. Notez toutefois que pour enchaîner ces périodes de 8 minutes, il faut prendre soin à ne pas diviser les 8 minutes en 2 comme dans la première position, mais à les faire s’écouler dans un compartiment unique.
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Mickaël Launay
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